Треугольник Паскаля

Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке.

 1$1$

 1 1$11$

 1 2 1$121$

 1 3 3 1$1331$

 1 4 6 4 1$14641$

 1 51010 5 1$15101051$

 1 6152015 6 1$1615201561$

 …………………………$\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots$

                                          СВОЙСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА ПАСКАЛЯ

• Сумма чисел n$n$-ной строки (отсчет ведется с нуля) треугольника Паскаля равна 2n$2^n$. Действительно, при переходе от каждой строки к следующей сумма членов удваивается, а для нулевой строки она равна 20=1$2^0=1$.
• Все строки треугольника Паскаля симметричны. Потому что при переходе от каждой строки к следующей свойство симметричности сохраняется, а нулевая строка симметрична.
• Каждое число в треугольнике Паскаля равно Ckn$C_n^k$, где n$n$ — номер строки, k$k$ — номер (отсчет ведется с нуля) элемента в строке.
• Каждое число треугольника Паскаля, уменьшенное на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный диагоналями, на пересечении которых находится этот элемент.
• Вдоль диагоналей, параллельных сторонам треугольника, выстроены треугольные числа, тетраэдрические числа и т.д.